Show that in a group (G,ₒ),(a ₒ b)-1 = (b-1 ₒ a-1)∀a,b∈G

Show that in a group (G,ₒ),(a ₒ b)-1 = (b-1 ₒ a-1)∀a,b∈G

Ans.

    Given,

            (G,ₒ) is a group.

Now, (a ₒ b) ₒ (b-1 ₒ a-1)

          = a ₒ (b ₒ b-1)ₒ a-1    (using associative property of G)

          = a ₒ e ₒ a-1    [∵ bₒb-1=c, the identity]

          = a ₒ a-1

          = e

Similarly,  (b-1 ₒ a-1) ₒ (a ₒ b)

                = b-1 ₒ (a-1 ₒ a) ₒ b

                = b-1 ₒ e ₒ b

                = b-1 ₒ b

                = e

Clearly, (b-1 ₒ a-1) is the inverse of (a ₒ b)

                    i.e,   (a ₒ b)-1 = (b-1 ₒ a-1)   

                                                (Proved)